図解統計学超入門 - 毎日一冊！ Kennie の読書日記

統計学の基礎をこれ以上ないほど丁寧に

解説してくれます。

標準偏差や正規分布、二項分布といった用語を

解説しながら、

「視聴率は、日本の5800万世帯のうち

6900世帯だけの調査で信頼できるのか」とか

「選挙の出口調査はなぜ、あれほど早いタイミングで

確定情報を出すことができるのか」

といった疑問に答えていきます。

本当に丁寧な説明で分かりやすいです。

【タイトル】

図解統計学超入門

【作者】

高橋洋一

【あらすじ・概要】

統計学の基礎を極めて丁寧に解説する。

サイコロの出目などを例にして

基本的な用語から説明する。

ヒストグラム

階級値ごとの頻度を表すグラフ。

平均値

データを合計しデータの数で割ったもの。

サイコロを3回降って、1が2回、4が1回でたら

(1+1+4)/6 = 1 が平均値。

相対度数

その度数が全体の中で締める割合。

サイコロを3回降って、1が2回、4が1回でたら

それぞれの目の相対度数は

1 : 2/3

2 : 0/3

3 : 0/3

4 : 1/3

5 : 0/3

6 : 0/3

偏差、分散

個々のデータが平均値からどれだけ離れているかが偏差。

（偏差）＝（データの数値）ー（平均値）

ばらつきは正負の両方があるため、

偏差を二乗し頻度をかけたものが分散になる。

サイコロを3回降って、1が2回、4が1回でたら

(1-1)^2x2/3 +(1-1)^2x2/3 + (4-1)^2x1/3

= 2/3+2/3+9/3

= 13/3 が分散

標準偏差

マイナスを避けるため偏差を二乗にしていることで

数が大きくなりすぎることを避けるため

分散にルートをかけたものを標準偏差という。

偏差値

平均からの差を標準偏差の十分の1で割り50を加えたもの。

百点満点の感覚があるため50を平均点とした。

正規分布

平均をピークとして左右対称の山を描くような分布。

サイコロの出目など、要因が多く偶然性が高いデータは

正規分布になりやすい。

所得などは分布に偶然以外の要因も関わるので

正規分布にはならない。

正規分布であれば

平均から標準偏差±1 の範囲に全体の68％

平均から標準偏差±2 の範囲に全体の95％

平均から標準偏差±3 の範囲に全体の99％

が含まれる。

標準正規分布

平均値が0、標準偏差が1 となる正規分布。

標準正規分布表がまとめられているため

計算せずに分布が割り出せる。

データの正規化

正規分布であることがわかっているデータを

標準正規分布と同じ特徴を持つデータに変化することで

解析しやすくする。

二項分布

ある事柄が成功と失敗の2通りしかない場合で

成功確立p、失敗の確立1ーp とし、

n回行なったうち、k回成功する確率を計算すると

P(X=k) = nCk x p^k x (1-p)^n-k で表せる。

サイコロを3回振って1回だけ1が出る確率は

以下のように計算する。

nCk ＝ 3C1 は3回のうち1回だけ1が出る組合せパターン数なので

1が出た場合を成功で〇、それ以外を✖️とすると

〇✖️✖️

✖️〇✖️

✖️✖️〇

の3パターンで

nCk ＝ 3C1 ＝3 となる。

p^k は成功する確率をk乗したものなので

(1/6)^1 = 1/6

上記の〇になるパターンでは、

それぞれが1が出る確率なので 1/6 になるということ。

(1-p)^n-k は失敗する確率を( n-k)乗したものなので

(1-1/6)^(3-1) = (5/6)^2 = 25/36

上記の✖️になるパターンは

それぞれが1以外が出る確率なので、5/6 になり

それが2回繰り返されるということ。

nCk ＝ 3C1 ＝3

(1/6)^1 = 1/6

(1-1/6)^(3-1) = (5/6)^2 = 25/36

を掛け合わた 75/216 が

「サイコロを3回振ったうち、1回だけ1が出る確率」になる。

中心極限定理

サイコロなどのように

毎回が独立し相互の関連がなく

互いに独立した確率変数と言えるもので成立する。

中心極限定理が成立するものでは

正規分布が成立する。

二項分布と正規分布

中心極限定理が成立するのであれば

二項分布は正規分布に近づき、

正規分布と同じ平均値予測ができる。

ここまでの理論を説明した上で、

テレビの視聴率調査は 5800万世帯農地

6900世帯 (約0.001%) でも

「95％の確かさで上下2％のレンジに入る」

ことを解説する。

仮にサンプルが十分の一だと、

「95％の確かさで上下6％のレンジに入る」

としか言えず、

10％と出た場合、4％〜16％の範囲となり

意味がある数字とは言えない。

またサンプルを10倍にすれば

「95％の確かさで上下0.6%のレンジに入る」と

言えるが、コストと比較しリターンが少ないと

判断されている。

必要に応じた正確さを出すためのサンプル数は

数学的に導き出せるが

「サンプルがランダムであること」を担保するのは難しい。

テレビの視聴率であれば、一部の地域や年齢層に

固まらないようサンプルを選ぶことが難しい。

選挙の出口調査でも、インタビューに答えるのは

比較的年齢層の高い人が多いことや

事前投票分が集計されない、などの偏りが生じている、

データがランダムでないと「中心極限定理」に当てはまらず

正規分布とならない。

【感想・考察】

「考え方を理解すれば公式を覚える必要はない」

として懇切丁寧に解説する。

サイコロを数回振るくらいの確率であれば

書き出して総当りすれば調べることができるし

その結果から公式へと導いてもらえれば理解しやすい。

「文系諸君にこんなことを言っても理解できないだろうけど」

みたいな言い方にはムッとくるが、

作者の予想通りのポイントで分からなくなるのが、

さらに悔しい。。